题目

已知椭圆 ，过椭圆左焦点F的直线 与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为 . （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 过点M作直线l垂直于x轴，直线MA､MB交椭圆分别于A､B两点，且两直线关于直线l对称，求证∶直线AB的斜率为定值. 答案： 解：直线 x−43y+3=0 过左焦点 F ，所以 F(−3,0) ， c=3 又由 SΔOMF=12×3×yM=34 可知 yM=12 从而椭圆经过点 M(3,12) 由椭圆定义知 2a=12+12+14=4 ，即 a=2 故椭圆的方程为 C:x24+y2=1 解：由条件知，直线 MA、MB 斜率存在，且两直线斜率互为相反数， 设直线 MA：y−12=k(x−3) 交椭圆于点 A(x1,y1) ， 直线 MB：y−12=−k(x−3) 交椭圆于点 B(x2,y2) ， 由 {y−12=k(x−3)x2+4y2=4 得 (4k2+1)x2−(83k2+4k)x+12k2−43k−3=0 从而有， 3x1=12k2−43k−34k2+1 ，即 x1=12k2−43k−33(4k2+1) ， y1=−43k2−6k3(4k2+1)+12 故 A(12k2−43k−33(4k2+1),−43k2−6k3(4k2+1)+12) ， 同理可得 B(12k2+43k−33(4k2+1),−43k2+6k3(4k2+1)+12) ， k=(−43k2+6k3(4k2+1)+12)−(−43k2−6k3(4k2+1)+12)12k2+43k−33(4k2+1)−12k2−43k−33(4k2+1)=12k83k=32 即证直线 AB 的斜率为定值，且为 32

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