题目

已知函数f（x）=ex+4x﹣3．（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的零点，并用二分法求函数f（x）零点的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.25≈1.3，e0.375≈1.45）；（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，试求实数a的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）由f（x）=ex+4x﹣3，得f′（x）=ex+4＞0，f（x）在[0，1]上单调递增，∵f（0）=﹣2，f（1）=e+1＞0，f（0）•f（1）＜00，∴f（x）在[0，1]上存在唯一零点，取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下由上表可知区间[0.25，0.5]的长度为0.25，所以该区间的中点x2=0.375，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个零点的近似值．∴函数f（x）零点的近似值x≈0.375（Ⅱ）当x≥1时，由f（x）≥ax，即a≤ex+4x-3x，令gx=ex+4x-3x则g'x=exx-1+3x2∵x≥1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=e+1，∴a的取值范围是a≤e+1．

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