题目

随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数 与一定范围内的温度 有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表： 日期 2日 7日 15日 22日 30日 温度 10 11 13 12 8 产卵数 /个 23 25 30 26 16 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， . （1） 从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为 ， ，求事件“ ， 均不小于25”的概率； （2） 科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立 关于 的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验. （ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出 关于 的线性回归方程； （ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？ 答案： 解：依题意得， m 、 n 的所有情况有： {23,25} 、 {23,30} 、 {23,26} 、 {23,16} 、 {25,30} 、 {25,26} 、 {25,16} 、 {30,26} 、 {30,16} 、 {26,16} 共有10个； 设“ m 、 n 均不小于25”为事件 A ，则事件 A 包含的基本事件有 {25,30} 、 {25,26} 、 {30,26} ，所以 P(A)=310 ，故事件 A 的概率为 310 解：（ⅰ）由数据得 x¯=12 ， y¯=27 ， ∑i=13(xi−x¯)(yi−y¯)=5 ， ∑i=13(xi−x¯)2=2 ， b∧=∑i=13(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=13(xi−x¯)2=2=52 ， a∧=y¯−52x¯=27−52×12=−3 . 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y∧=52x−3 . （ⅱ）由（ⅰ）知， y 关于 x 的线性回归方程为 y∧=52x−3 . 当 x=10 时， y∧=52×10−3=22 ， |22−23|<2 . 当 x=8 时， y∧=52×8−3=17 ， |17−16|<2 . 所以，所得到的线性回归方程 y∧=52x−3 是可靠的

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