题目

如图，已知等边△ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD． （1） 求证：DF是⊙O的切线； （2） 求FG的长； （3） 求tan∠FGD的值． 答案： 解：连结OD，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C＝∠A＝∠B＝60°， 而OD＝OB， ∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； 解：∵OD∥AC，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴BD＝CD＝6． 在Rt△CDF中，∠C＝60°， ∴∠CDF＝30°， ∴CF＝ 12 CD＝3， ∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9， 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°， ∴FG＝AF×sinA＝9× 32 ＝ 932 解：过D作DH⊥AB于H． ∵FG⊥AB，DH⊥AB， ∴FG∥DH， ∴∠FGD＝∠GDH． 在Rt△BDH中，∠B＝60°， ∴∠BDH＝30°， ∴BH＝ 12 BD＝3，DH＝ 3 BH＝ 33 ， 在Rt△AFG中，∵∠AFG＝30°， ∴AG＝ 12 AF＝ 92 ， ∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣ 92 ﹣3＝ 92 ， ∴tan∠GDH＝ GHDH=9233=32 ， ∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝ 32 ．

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