题目

已知抛物线 的焦点 与椭圆 的右焦点重合. （1） 求抛物线 的标准方程； （2） 斜率为 的直线 交抛物线 于不同两点 ，求证： . 答案： 解：由 c2=9−8=1 ，所以椭圆 x29+y28=1 在右焦点F(1，0)，∴ p2=1 ，即p=2.所以抛物线C的标准方程为 y2=4x . 解：设直线l的方程为y=-x+b，将它代入抛物线 C：y2=4x .得 x2−2(b+2)x+b2=0 ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则 x1+x2=2(b+2) ， x1x2=b2 .又由直线l交抛物线C于不同两点A，B，可得 Δ=16(b+1)>0 ，所以 b>−1 .而 1|FA|+1|FB|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+(x1+x2)+1=2(b+3)b2+2b+5 ，令t=b+3，则t>2.所以1|FA|+1|FB|=2t(t−3)2+2(t−3)+5=2tt2−4t+8=2(t+8t)−4≤22t⋅8t−4=2+12 当 t=8t ，即 t=22 ， b=22−3 时，等号成立.

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