题目

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中,、、分别是、、的中点，是上的点. （1）求直线与平面所成角的正切值的最大值； (第19题图)   （2）求证：直线平面； （3）求直线与平面的距离. 答案：解:（1）PE在平面ABC内的射影为AP，则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角， 当点P与D重合时，AP最短，此时： 取直线PE与平面ABC所成角的最大值为      …………（4分） （2）如图所示，连接DE、CE，∵D、E、F分别是所在棱的中点，    , 又平面EDC//平面    ………………………………………………………（8分） （3）解法一  由（2）可知，直线PE与平面的距离等于两平行平面EDC与平面 的距离，即点到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离.设A到平面EDC的距离为，又，平面且平面，又, 为直角三角形. 由，得        ………………………………………… （12分） 解法二  由（1）知，平面EDC//平面,故平面的法向量也为.又E到平面的距离，即为向量在法向量n上的投影的绝对值， 又=

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