题目

《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 、 、 、 、 、 、 、 ．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 、 、 、 、 、 、 、 八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 ． （1） 求物理原始成绩在区间 的人数； （2） 按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间 的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量 ，则 ， ， ） 答案： 解：因为物理原始成绩 ξ∼N(60,132) ， 所以 P(47<ξ<86)=P(47<ξ<60)+P(60≤ξ<86) =12P(60−13<ξ<60+13)+12P(60−2×13≤ξ<60+2×13) =0.6822+0.9542 =0.818 ． 所以物理原始成绩在（47，86）的人数为 2000×0.818=1636 （人）． 解：由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为 25 ． 所以随机抽取三人，则 X 的所有可能取值为0,1,2,3，且 X∼B(3,25) ， 所以 P(X=0)=(35)3=27125 ， P(X=1)=C31⋅25⋅(35)2=54125 ， P(X=2)=C32⋅(25)2⋅35=36125 ，   P(X=3)=(25)3=8125 ． 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 所以数学期望 E(X)=3×25=65 ．

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