题目

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ． （1） 求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2） 若点M，N分别在直线l和曲线C上，且直线的斜率为 ， 求线段长度的取值范围． 答案： 解：消去参数t得直线l的普通方程为3x+y−23=0，再将{x=ρcosθy=ρsinθ代入直线的普通方程，得直线l的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ−23=0．由ρ2=21+sin2θ⇒ρ2+ρ2sin2θ=2⇒x2+2y2=2得曲线的直角坐标方程为x22+y2=1，所以直线l的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ−23=0；曲线C的直角坐标方程为x22+y2=1． 解：因为直线MN的斜率为3，即倾斜角为60∘，而直线l的倾斜角为120∘，故直线MN与直线l的夹角为60∘，如下图所示，过N作NG⊥l，垂足为G，则|MN|=233|NG|，因为曲线C的参数方程为：{x=2cosαy=sinα（α为参数），所以可设N(2cosα，sinα)，则|NG|=|6cosα+sinα−23|2=|7sin(α+φ)−23|2，且tanφ=6，因为−1≤sin(α+φ)≤1，23−72≤|NG|≤7+232，|MN|=233|NG|，所以2−213≤|MN|≤2+213．所以线段MN长度的取值范围是[2−213，2+213]

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