题目

已知函数 ，（ ， ， ）的最小正周期为 . （1） 从① ；② ；③ ，都有 这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数 的解析式； （2） 求（1）中所求得的函数 在区间 上的最大值和最小值. 答案： 解：因为 f(x) 的最小正周期为 4π ， 所以 2πω=4π ，解得 ω=12 . 选①②： 因为 f(−π3)=0 ，所以 sin(−π6+φ)=0 ， 解得 φ=π6+kπ ， k∈Z . 因为 |φ|<π2 ，所以 φ=π6 . 又因为 f(−2π3)=−1 ， 所以 Asin(−π3+π6)=−1 ，即 Asin(−π6)=−1 ， 所以 A=2 . 所以 f(x)=2sin(12x+π6) . 选②③： 因为 ∀x∈R ，都有 f(x)≤f(2π3) ， 所以 x=2π3 时， f(x) 取得最大值，即 sin(π3+φ)=1 ， 所以 π3+φ=π2+2kπ ， k∈Z ， 所以 |φ|<π2 ，所以 φ=π6 . 又因为 f(−2π3)=−1 ， 所以 Asin(−π3+π6)=−1 ，即 Asin(−π6)=−1 ， 所以 A=2 . 所以 f(x)=2sin(12x+π6) 解：因为 x∈[−2π3,π3] ， 所以 12x+π6∈[−π6,π3] ， 所以 sin(x2+π6)∈[12,32] ， 当 x=−2π3 时， f(x) 取得最小值为-1； 当 x=π3 时， f(x) 取得最大值为 3 ； 所以 f(x) 取得最小值为-1，最大值为 3 .

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