题目

（本小题满分14分） 已知数列，满足，其中. （Ⅰ）若，求数列的通项公式； （Ⅱ）若，且. （ⅰ）记，求证：数列为等差数列； （ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件. 答案：（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当时，有  …………2分 .                              ………………3分 又因为也满足上式，所以数列的通项为.………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有，    ………………5分 所以 ， 所以数列为等差数列.                                    ………………7分 （ⅱ）设，（其中为常数且），所以 所以数列均为以7为公差的等差数列.                    ………………9分 设， （其中，为中的一个常数）， 当时，对任意的有；                 ………………10分 当时， ………………11分 ①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列； ②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列； ………………12分 综上：设集合， 当时，数列中必有某数重复出现无数次. 当时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分

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