题目

2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示． （1） 求频率分布直方图中a的值； （2） 由频率分布直方图； （i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数； （ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3） 为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率． 答案： 由 (0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)×20=1 ，得 a=0.005 ； （i）因为 (0.002+0.0095+0.011) ×20=0.45<0.5 ， (0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.5 ， 所以中位数在 [220,240) ，设中位数为 x ，所以 (x−220) ×0.0125=0.05 ，解得 x=224 ， 所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224； （ii）这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为 (0.002×170+0.0095×190+0.011×210+0.0125×230+0.0075×250 +0.005×270+0.0025×290)×20 =(0.34+1.805+2.31+2.875+1.875+1.35+0.725)×20 =11.28×20=225.6 物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中的人数分别为： 0.0125×20×100=25 人， 0.005×20×100=10 人，根据分层随机抽样可知，从成绩在[220，240）的组中应抽取 2525+10×7=5 人，记为 a,b,c,d,e ，从成绩在[260，280）的组中应抽取2人，记为 f,g ， 从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为： (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(a,g),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(b,g),(c,d),(c,e),(c,f),(c,g) ， (d,e),(d,f),(d,g),(e,f),(e,g),(f,g) ，共有21种，其中这2名学生来自不同组的共有10种， 根据古典概型的概率公式可得所求概率为 1021 .

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