题目

阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数m都可以表示为：m=p2+q（p、q是正整数），在m的所有这种表示中，如果 最小时，规定：F(m)= .例如：21可以表示为：21=12+20=22+17=32+12=42+5，因为 > > > ，所以F(21)= . （1） 求F(33)的值； （2） 如果一个正整数n可以表示为t2-t（其中t≥2，且是正整数），那么称n是次完全平方数，证明：任何一个次完全平方数n，都有F(n)=1； （3） 一个三位自然数k，k=100a+10b+c(其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a≤c，a、b、c为整数)，满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且k与其十位上数字的2倍之和能被9整除，求所有满足条件的k中F(k)的最小值. 答案： 解：33可以表示为： 33=12+32=22+29=32+24=42+17=52+8 ， ∵ |1−32|>|2−29|>|3−24|>|4−17|>|5−8| ， ∴ F(33)=85 证明：设次完全平方数n=t2-t（其中t≥2，且是正整数）， ∵t2-t=(t-1)2+(t-1)， ∴n=(t-1)2+(t-1)， ∴ |p−q|=|(t−1)−(t−1)|=0 ，即 |p−q| 最小， ∴ F(n)=t−1t−1=1 解：∵ k=100a+10b+c ， b=a+c ， ∴ k+2b=100a+10b+c+2b=100a+12(a+c)+c=112a+13c ， ∴ 112a+13c9=108a+9c+4a+4c9=12a+c+4(a+c)9 为整数· ∵ 1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9 ， b=a+c ， ∴ 1≤a+c≤9 ， ∴ a+c=9 ， ∵ a≤c ， ∴ {a=1b=8  ， {a=2b=7  ， {a=3b=6  ， {a=4b=5  ， ∴ k=198,297,396,495 ， ∵ F(198)=214=17 ， F(297)=817 ， F(396)=3519 ， F(495)=1122=12 ， ∴F(k)的最小值为 17

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