题目

18.如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为.（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离. 答案：（I）证明：连结CD.∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影.∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D.                                                                                    （II）解法一：过A点作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.∵D、E分别为AB、BC的中点，∴DE∥AC，又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE.∵MA⊥平面ABC.∴AF为MF在平面ABC内的射影,∴MF⊥DE,∴∠MFA为二面角M—DE—A的平面角，∠MFA=30°.在Rt△MAF中，AF=BC=，∠MFA=30°，∴AM=.                                                                             作AG⊥MF，垂足为G.∵MF⊥DE,AF⊥DE,∴DE⊥平面AMF，∴平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE.在Rt△GAF中, ∠GFA=30°,AF=,∴AG=,即A到平面MDE的距离为.∵CA∥DE, ∴CA∥平面MDE.∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为.              解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，∵D、E分别为AB、CB的中点，∴DE∥AC，又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE.∵MA⊥平面ABC,∴AF为MF在平面ABC内的射影,∴MF⊥DE,∴∠MFA为二面角M—DE—A的平面角，∠MFA=30°.在Rt△MAF中，AF=，∠MFA=30°，∴AM=a.                                                                                     设C到平面MDE的距离为h.∵,∴S△CDE=S△MDE=,∴∴h=,即C到平面MDE的距离为.

查看本题答案和解析