题目

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF． （1） 观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：． （2） 数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：． （3） 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB=2 ，CD= BC，请求出DG的长（写出求解过程）． 答案： 【1】BC⊥CF【2】CF=BC-CD 【1】BC⊥CF【2】CF=CD﹣BC 解：由题意得：∠BAC=∠FAD=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中， {AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF ，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠FCB=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BC，在Rt△ABC中，AC=AB=2 2 ，在Rt△AGC中，∵∠ACF=45°，∴CG= 2 AC= 2 ×2 2 =4，同理BC=4，CD= 14 BC= 14 ×4=1，∴在Rt△DCG中，DG= CG2+CD2 = 42+12 = 17 ．

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