题目

已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D． （1） 如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣ ．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； （2） 如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 答案： 解：①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DBF=∠BAO，又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，在△AOB和△BFD中，{∠DBF=∠BAO∠AOB=∠BFDAB=BD ，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF=BO=1，BF=AO=2，∴D的坐标是（3，1），根据题意，得a=﹣ 13 ，c=0，且a×32+b×3+c=1，∴b= 43 ，∴该抛物线的解析式为y=﹣ 13 x2+ 43 x；②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，∴C（ 12 ，1），∵C、D两点的纵坐标都为1，∴CD∥x轴，∴∠BCD=∠ABO，∴∠BAO与∠BCD互余，要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣ 13 x2+ 43 x），（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，则tan∠POB=tan∠BAO，即 PGOG = BOAO ，∴ −13x2+43xx = 12 ，解得x1=0（舍去），x2= 52 ，∴﹣ 13 x2+ 43 x= 54 ，∴P点的坐标为（ 52 ， 54 ）；（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3则tan∠POB=tan∠BAO，即 PGOG = BOAO ，∴ 13x2−43xx = 12 ，解得x1=0（舍去），x2= 112 ，∴﹣ 13 x2+ 43 x=﹣ 114 ，∴P点的坐标为（ 112 ，﹣ 114 ）；综上，在抛物线上是否存在点P（ 52 ， 54 ）或（ 112 ，﹣ 114 ），使得∠POB与∠BCD互余 解：如图3，∵D（3，1），E（1，1），抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 {a+b+c=19a+3b+c=1 ，解得 {b=−4ac=1+3a ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．分两种情况：①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ 13 ；②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，∴tan∠QOB=tan∠BAO= OBOA = 12 ，此时直线OQ的斜率为﹣ 12 ，则直线OQ的解析式为y=﹣ 12 x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ 12 x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+ 12 ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ 14 ＞0，解得a＞ 4+154 （a＜ 4−154 舍去）综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 13 或a＞ 4+154 ．

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