题目

如图，二次函数 的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D ， 点B的坐标为 ，顶点C的坐标为 ． （1） 求二次函数的解析式和直线BD的解析式； （2） 点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M ， 当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值； （3） 在抛物线上是否存在异于B、D的点Q ， 使 中BD边上的高为 ？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由． 答案： 解：∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4， ∵点B（3，0）在该抛物线的图象上， ∴0=a（3-1）2+4，解得a=-1， ∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3， ∵点D在y轴上，令x=0可得y=3， ∴D点坐标为（0，3）， ∴可设直线BD解析式为y=kx+3， 把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=-1， ∴直线BD解析式为y=-x+3； 解：设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，-m+3），M（m，-m2+2m+3）， ∴PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m- 32 ）2+ 94 ， ∴当m= 32 时，PM有最大值 94 ； 解：如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H， 设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3）， ∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|， ∵△BOD是等腰直角三角形， ∴∠DBO=45°， ∴∠HGQ=∠BGE=45°， 当△BDQ中BD边上的高为2 2 时，即QH=HG=2 2 ， ∴QG= 2 ×2 2 =4， ∴|-x2+3x|=4， 当-x2+3x=4时，△=9-16＜0，方程无实数根， 当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4， ∴Q（-1，0）或（4，-5）， 综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．

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