题目

如图所示，某市有一块正三角形状空地 ，其中测得 千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中点 在 边上，点 在 边上，点 在 边上， ， ，剩余部分需做绿化，设 . （1） 若 ，求 的长； （2） 当 变化时， 的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由. 答案： 设 DE=x 千米，当 θ=π3 时， △BDE 为等边三角形， 所以 BE=DE=x ，由 ∠DEF=90∘ ， DF=2DE=2x ，得 EF=3x ， △CEF 中， ∠CEF=30∘ ， ∠C=60∘ ，所以 ∠CFE=90∘ ， 所以 EC=EFsin60∘=3x32=2x ， 所以 DE+EC=BE+EC=3x=BC=10 ，解得 x=103 ，所以 DE=103 千米； △BDE 中， ∠DEB=θ ，由正弦定理得 BEsin(120∘−θ)=xsin60∘ ， 解得 BE=xsin(120∘−θ)sin60∘ ； △CEF 中， ∠CEF=90∘−θ ，由正弦定理得 ECsin(30∘+θ)=3xsin60∘ ， 解得 EC=3xsin(30∘+θ)sin60∘ ； 由 BE+EC=BC ，得 xsin(120∘−θ)sin60∘+3xsin(30∘+θ)sin60∘=10 ， 即 x[sin(120∘−θ)+3sin(30∘+θ)]=53 ， x[sin120∘cosθ−cos120∘sinθ+3(sin30∘cosθ+cos30∘sinθ)]=53 ， 解得 x=533cosθ+2sinθ=537sin(θ+α) ； θ∈(0∘，90∘) 由 S△DEF=12x⋅3x=32x2 ， 因为 x>0 ，所以当 sin(θ+α)=1 时 x 取得最小值 x=537 ， 所以 △DEF 的面积有最小值，最小值为 S△DEF=32×(537)2=75314 .

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