题目

如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝ DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形. 答案：证明：设FC＝2a，则DC＝9a，DF＝7a. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD＝9a， ∠B=∠C=∠D=90° . ∵BE＝2CE， ∴BE＝6a，EC＝3a. 在Rt△ECF中，EF2＝EC2＋FC2＝（3a）2＋（2a）2＝13a2. 在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝（9a）2＋（7a）2＝130a2. 在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝（9a）2＋（6a）2＝117a2. ∵13a2＋117a2＝130a2， ∴EF2＋AE2＝AF2. ∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形.

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