题目

二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接PA，PC，求的最大值；（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．答案：解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），∴{16a−4b+4=0a+b+4=0，解得：{a=−1b=−3，∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x＋4 解：将x=0代入y=-x2-3x+4得，y=4，∴点C（0，4），设直线AC所在直线的表达式为y=k1x+b1，则{0=−4×k1+b14=b1，解得：{k1=1b1=4，∴直线AC的表达式为y=x+4，如图，设PD与线段AC交于点N，设P（t，-t2-3t+4），∵PD⊥x轴交AC于点N，∴N（t，t+4），∴PN=yP-yN=-t2-4t，过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4，∴S△APC=S△APN+S△PCN=12PN•AD+12PN•CH=12PN•(AD+CH)=12 (−t2−4t)•(−t+t+4)=-2t2-8t=-2(t+2)2+8，∵a=-2＜0，∴当t=-2时，S△APC有最大值，△PAC面积的最大值为8．解：设BP与y轴交于点E，∵PD∥y轴，∴∠DPB=∠OEB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OEB=2∠BCO，∴∠ECB=∠EBC，∴BE=CE，∵C（0，4），B（1，0），∴OC=4，OB=1，设OE=a，则CE=BE=4-a，在Rt△BOE中，BE2=OE2+OB2，∴（4-a）2=a2+12，解得：a=158，∴E（0，158），设BP所在直线表达式为y=kx+b（k≠0），∴{k+b=0b=158，解得：{k=−158b=158，∴直线BP的表达式为y=-158x+158．

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