题目

已知函数 . （Ⅰ）若不等式 在 上有解，求k的取值范围； （Ⅱ）若方程 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）原式 =2x+12x−2−k⋅2x≥0⇒k≤1(2x)2−22x+1 , 令 t=12x∈[12,2] ，则 k≤t2−2t+1 , 令 g(t)=t2−2t+1 ， g(t)∈[0,1] 因为对称轴 t=1 ，所以二次函数 g(t) 在区间 [0,1] 上单调递减，所以 g(t)max=g(0)=1 ∵ k≤g(t) 有解，∴ k≤g(t)max , ∴ k≤1 . （Ⅱ）原式可化为 |2x−1|+1|2x−1|−2+2k|2x−1|−3k=0 , 令 t=|2x−1|(t>0) ，原式可化为 t+1t−2+2kt−3k=0⇒t2−(3k+2)t+2k+1=0 因为方程 |2x−1|+1|2x−1|−2+2k|2x−1|−3k=0 有三个不同的实数根，所以由 t=|2x−1|(t>0) 的图像知, 方程 t2−(3k+2)t+2k+1=0 有两个根 t1,t2 ，且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1 令 h(t)=t2−(3k+2)t+2k+1 则 {h(0)=1+2k>0h(1)=−k<0 或 {h(0)=1+2k>0h(1)=−k=00<2+3k2<1 ∴ k>0 .

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