题目

如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点． （1）求证：PQ∥平面BCE； （2）求证：AM⊥平面BCM； （3）求点F到平面BCE的距离． 答案：1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 试题分析：（1）因为分别是，的中点，由三角形的中位线性质知，∥，从而证明∥平面；（2）由题意易知，，又，所以，故，所以由线面垂直的判定定理可得结论；（3）可转化为到平面的距离的倍，再利用三棱锥的等体积法求到平面的距离． 试题解析：（1）因为AB∥EM，且AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形． 连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点， 所以PQ是△ACE的中位线，于是PQ∥CE． ∵CE⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE， ∴PQ∥平面BCE． （2）AD⊥平面ABEF⇒BC⊥平面ABEF⇒BC⊥AM． 在等腰梯形ABEF中，由AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2， 可得∠BEF＝45°，BM＝AM＝2， ∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM⊥BM． 又BC∩BM＝B，∴AM⊥平面BCM． （3）解法一：点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍， ∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB⊥BE， ∵MB⊥BC，BC∩BE＝B， ∴MB⊥平面BCE，∴d＝2MB＝4． 解法二：VC－BEF＝S△BEF·BC＝BC， VF－BCE＝S△BCE·d＝BC． ∵VC－BEF＝VF－BCE，∴d＝4．

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