题目

已知，如图，△ABC是等边三角形． （1） 如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD ， 连接BD ， ∠BAC的平分线交BD于点E ， 连接CE ． ①求∠AED的度数； ②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）． （2） 如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD ， 连接BD ， ∠BAC的平分线交DB的延长线于点E ， 连接CE ． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明． 答案： 解：①如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝ 12 ∠BAC＝30°， 由旋转可知：AD＝AC，∠CAD＝90°． ∴AB＝AD，∠BAD＝150°， ∴∠ABD＝∠D＝15°， ∴∠AED＝∠ABD+∠BAE＝45°． ②结论： BD=2CE+2AE ． 理由：作CK⊥BC交BD于K，连接CD． ∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△AEB≌△AEC（SAS）， ∴BE＝EC，∠AEB＝∠AEC＝135°， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∵∠BCK＝90°， ∴∠CKB＝∠CBE＝45°， ∴CB＝CE， ∵CE⊥BK， ∴BE＝EK， ∵∠ADC＝45°，∠ADB＝15°， ∴∠CDK＝∠CAE＝30°， ∵∠CKD＝∠AEC＝135°， ∴△CDK∽△CAE， ∴ DKAE ＝ CDAC ＝ 2 ， ∴DK＝ 2 AE， ∴BD＝BK+DK＝2BE+ 2 AE 解：①图形如图2所示： ②结论： BD=2AE−2CE ． 理由：过点A作AF⊥AE，交ED的延长线于点F（如图3）． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝ 12 ∠BAC＝30°， 由旋转可知：AD＝AC，∠CAD＝90°， ∴AB＝AD，∠2＝∠CAD﹣∠BAC＝30°， ∴∠3＝∠4＝75°， ∴∠5＝∠4﹣∠1＝45°， ∵AF⊥AE， ∴∠F＝45°＝∠5， ∴AF＝AE， ∴EF＝ 2 AE， ∵∠6＝∠EAF﹣∠1﹣∠2＝30°， ∴∠6＝∠1＝30°， 又∵∠F＝∠5＝45°，AD＝AB， ∴△ADF≌△ABE（SAS）， ∴DF＝BE， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE垂直平分BC， ∴CE＝BE， ∵BD＝EF﹣DF﹣BE， ∴BD＝ 2 AE﹣2CE

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