题目

已知函数 ． (Ⅰ)若 ，求 在区间 上的最大值和最小值； (Ⅱ)设  若 ，且对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）当 a=12 时， f(x)=x2−x+2=(x−12)2+74 当 x=12 时，有 f(x)min=74， 当 x=−1 时，有 f(x)max=4 . （Ⅱ） g(x)=(2x)2−2a⋅2x+2 ∵  对于任意的实数 x1，x2∈[0，1] ，不等式 |g(x1)−g(x2)|≤9 恒成立 ∴g(x)max−g(x)min≤9  . ∵g(0)=1−2a+2>0，∴a<32，   设 2x=t，t∈[1，2]   则 g(x)=h(t)=t2−2at+2   因为对称轴 t=a<32  ， ∴(g(x))max=h(2)=6−4a   ⑴当 a<1 时， g(t) 在 [1，2] 上单调递增， ∴g(x)min=h(1)=3−2a ， 由 g(x)max−g(x)min≤9 得  6−4a−(3−2a)≤9    得 a≥−3 ，  ∴−3≤a<1   ⑵当 1≤a<32 时， g(x)min=h(a)=−a2+2， 由 g(x)max−g(x)min=6−4a−(−a2+2)≤9  得 a2−4a−5≤0  . 得 −1≤a≤5   所以此时有 1≤a<32      综上得 −3≤a<32

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