题目

三棱锥中，为等腰直角三角形， ， 平面平面. （1） 求证：； （2） 若E为中点，F在上，且满足∥平面 ， 求三棱锥的体积. 答案： 证明：∵PA2+PB2=22+(23)2=16=AB2∴PA⊥PB又∵△PAC为直角三角形，PA=PC∴PA⊥PC又PB∩PC=P，PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC∴PA⊥平面PBC又BC⊂平面PBC∴PA⊥BC 解：∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=EF∴PA∥EF， ∵E为PC中点，∴F为AC中点∴PF⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PF⊂平面PAC所以PF⊥平面ABC，又BF⊂平面ABC所以PF⊥BF，易知PF=12AC=2，所以BF=(23)2−(2)2=10由余弦定理得cos∠FAB=2+16−102×2×4=22，所以sin∠FAB=22所以S△ABC=12|AC||AB|sin∠FAB=12×22×4×22=4所以VP−ABC=13×4×2=423所以VE−BCF=12VE−ABC=14VP−ABC=14×423=23

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