题目

知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）． （1） 判断函数 f （x）的单调性； （2） 若函数 f （x）有两个极值点x1 ， x2 ， 求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3． 答案： 解：由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=2ax﹣2+ 1x = 2ax2−2x+1x ，令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a，①a≥ 12 时，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，则f（x）在（0，+∞）递增；②a＜ 12 时，△=4﹣8a＞0，由g（x）=0，解得：x1= 1−1−2a2a ，x2= 1+1−2a2a ，（i）0＜a＜ 12 时，0＜x1＜x2，此时f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增；（ii）a＜0时，x2＜0＜x1，此时f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增，∴a≥ 12 时，f（x）在（0，+∞）递增，0＜a＜ 12 时，f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增，a＜0时，f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增； 解：证明：由（1）得0＜a＜ 12 时，函数f（x）有2个极值点x1，x2， 且x1+x2= 1a ，x1x2= 12a ，∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+ 1a ）﹣（1+ln2），令h（a）=﹣（lna+ 1a ）﹣（1+ln2），（0＜a＜ 12 ），则h′（a）=﹣（ 1a ﹣ 1a2 ）= 1−aa2 ＞0，∴h（a）在（0， 12 ）递增，则h（a）＜h（ 12 ）=﹣（ln 12 +2）﹣（1+ln2）=﹣3，即f（x1）+f（x2）＜﹣3．

查看本题答案和解析