题目

如图为一种新型粒子收集装置，一个绕竖直轴以速度逆时针转动的粒子源放置在边长为m的立方体的中心，立方体四个侧面均为荧光屏，上下底面、为空，立方体处在竖直向下的磁感应强度T匀强磁场中。在时刻，粒子源的发射方向恰好水平向右指向的中心，并发射一种比荷为C/kg带正电粒子。已知每秒发射粒子总数为 ， 粒子源发射的粒子数量随速度均匀分布，即不同速度的粒子数量相同。粒子打到荧光屏上后被荧光屏所吸收，不考虑粒子间的相互作用和荧光屏吸收粒子后的电势变化，不考虑粒子源的尺寸大小，重力忽略不计。 （1） 若无粒子打到荧光屏上，求粒子源发射的粒子的速度大小范围； （2） 若使粒子源发射粒子全部打在荧光屏上，求粒子源发射粒子的速度大小范围； （3） 撤去磁场，在立方体内施加一个竖直向下的匀强电场，电场强度为N/C，若粒子源发射的粒子速度范围为 ， 求每秒打在荧光屏上的粒子数量n。 答案： 解：当离子的运动轨迹圆直径为L2时，粒子恰好能打到荧光屏上，即r=L4=0.025m根据qv1B=mv12r解得v1=5×105m/s即当粒子速度v<5×105m/s，没有粒子打到荧光屏上 解：当粒子与两个侧面相切时，是粒子全部打到荧光屏上的临界情况。设速度为v2，当v>v2，粒子能全部打在荧光屏上。画出轨迹图，由几何关系知r=2(L2−r)可得r=(1−22)L代入r=mv2qB可得v2=(2−2)×106m/s≈5.86×105m/s当v>5.86×105m/s，粒子能全部打在荧光屏上。 解：粒子射出后，在电场中做类平抛运动，沿电场方向有y=12×qEm×t2垂直电场方向有x=v0t若不考虑荧光屏的对粒子运动的障碍，对v01=5×104m/s的粒子，粒子穿过cc′dd′所在平面时，其水平射程s1=v01LmEq=330m=33L>12L对v02=1×105m/s的粒子，其水平射程s2=v01LmEq=315m=233L易看出，由于不同速度的粒子数量相同，若不考虑荧光屏的对粒子运动的障碍时，粒子穿过cc′dd′所在平面时，水平方向上的射程正比于初速度，故在某一方面上，粒子的分布随射程变化是均匀的。作出俯视图，画出半径为射程s1、s2的两个圆，由于s1=3L3，找出小圆与正方形cc′dd′的交点G，图中在θ1范围内的粒子均能打在荧光屏上。由几何知识知θ1=30°即图中45°角内剩余部分为15°。s1、s2的两个圆的面积减去正方形在s1圆外的部分的面积（即阴影部分）就可以计算粒子打在荧光屏上的数目S阴影=8×[12×(L2−s1sinθ1)×L2−12×π12s12)]=9−33−π9L2 S环=(πs22−πs12)=πL2粒子打在荧光屏上的数目n=S环−S阴影S环n0=(109−3−33π)n0

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