题目

设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的导数 满足 ， ，其中常数a ， b∈R. （1） 求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2） 设 ，求函数g（x）的极值. 答案： 解：∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b，则 {f′(1)=3+2a+b=2af′(2)=12+4a+b=−b 解得 {a=−32b=−3∴f（x）＝x3－ 32 x2－3x＋1，∴f（1）＝－ 52 ，f′（1）＝－3，∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－ (−52) ＝－3（x－1），即6x＋2y－1＝0 解：由（1）知g（x）＝（3x2－3x－3）e－x，∴g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，令g′（x）＝0，即（－3x2＋9x）e－x＝0，得x＝0或x＝3，当x∈（－∞，0）时，g′（x）<0，故g（x）在（－∞，0）上单调递减.当x∈（0，3）时，g′（x）>0，故g（x）在（0，3）上单调递增.当x∈（3，＋∞）时，g′（x）<0，故g（x）在（3，＋∞）上单调递减.从而函数g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝－3，在x＝3处取得极大值g（3）＝15e－3.

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