题目

在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H． （1） 如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，则 S四边形AEOG＝S正方形 ABCD； （2） 如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S四边形 AEOG＝ S矩形 ABCD ， 设 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）； （3） 如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 试确定 F、G、H 的位置，使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 答案： 【1】14 解：如图②，过O作ON⊥AD于 N，OM⊥AB于M， ∵S△AOB＝ 14 S矩形ABCD，S四边形AEOG＝ 14 S矩形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOE＝ 12 BE•OM＝ 12 m· 12 b＝ 14 mb，S△AOG＝ 12 AG•ON＝ 12 AG• 12 a＝ 14 AG•a， ∴ 14 mb＝ 14 AG•a， ∴AG＝ mba ； 解：如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD， 则 KL＝2OK，PQ＝2OQ， ∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ， ∴3×2OK＝5×2OQ， ∴ OKOQ ＝ 53 ， ∵S△AOB＝ 14 S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝ 14 S平行四边形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOE＝ 12 BE•OK＝ 12 ×1×OK，S△AOG＝ 12 AG•OQ， ∴ 12 ×1×OK＝ 12 AG•OQ， ∴ OKOQ ＝AG＝ 53 ， ∴当AG＝CH＝ 53 ，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．

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