题目

如下图①，抛物线与x轴交于点A（，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．     （1）求抛物线的表达式；     （2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；      （3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．    答案：解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（，0），B（3，0），     ，解得，    ∴抛物线的表达式为．……………………3分   （2）存在．M1（，），M2（，）                                       ……………………5分 （3）存在．如图，设BP交轴y于点G． ∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上， ∴当x=2时，m=． ∴点D的坐标为（2，3）． 把x=0代入，得y=3． ∴点C的坐标为（0，3）． ∴CD∥x轴，CD = 2． ∵点B（3，0），∴OB = OC = 3 ∴∠OBC=∠OCB=45°． ∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC， ∴△CGB ≌ △CDB（ASA），∴CG=CD=2． ∴OG=OCCG=1，∴点G的坐标为（0，1）． 设直线BP的解析式为y=kx+1，将B（3，0）代入，得3k+1=0，解得k=． ∴直线BP的解析式为y=x+1．               ……………………9分 令x+1=．解得，． ∵点P是抛物线对称轴x==1左侧的一点，即x<1，∴x=．把x=代入抛物线中，解得y= ∴当点P的坐标为（，）时，满足∠PBC=∠DBC．

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