题目

设函数 的定义域为 ，并且满足 ，且 ，当 时， . （1） 求 的值； （2） 判断函数 的奇偶性； （3） 如果 ，求 的取值范围. 答案： 解：令 x=y=0 ，则 f(0−0)=f(0)−f(0) ，∴ f(0)=0 解：∵ f(x−y)=f(x)−f(y)∴ f(0−x)=f(0)−f(x)由（1）知 f(0)=0 ，∴ f(x)=−f(−x)∴函数 f(x) 是奇函数 解：设 ∀x1,x2∈R ，且 x1>x2 ，则 x1−x2>0 ，f(x1−x2)=f(x1)−f(x2) ，∵当 x>0 时， f(x)>0∴ f(x1−x2)>0 ，即 f(x1)−f(x2)>0∴ f(x1)>f(x2) ，∴函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数∵ f(x−y)=f(x)−f(y)∴ f(x)=f(y)+f(x−y)∴ 2=1+1=f(2)+f(2)=   f(2)−f(4−2)=f(4)∵ f(x)+f(x+2)<2∴ f(x)+f(x+2)<f(4)∴ f(x+2)<f(4)−f(x)=f(4−x)∵函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数∴ x+2<4−x ∴ x<1∴不等式 f(x)+f(x+2)<2 的解集为 {x|x<1} .

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