题目

已知椭圆 的长轴长为 ，椭圆 的右焦点到右准线的距离为 . （1） 求椭圆 的方程 （2） 若 在椭圆 上且在第一象限， 、 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线 、 分别交 轴、 轴于点 、 . ①求证： 为定值； ②求 面积的最小值 答案： 解：因为椭圆 C 的长轴长为 4 ，所以 2a=4 ，即 a=2 . 又因为椭圆 C 上的右焦点到右准线的距离为 3 ，所以 a2c−c=3 ，即 4c−c=3 ， 整理可得 c2+3c−4=0 ， ∵c>0 ，解得 c=1 ，所以 b=a2−c2=22−12=3 ， 所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 ； 解：①设点 P(x0，y0) ，则直线 PA：y=y0x0−2(x−2) ，直线 PB：y=y0−3x0x+3 ， 所以 M(0，−2y0x0−2) ， N(−3x0y0−3，0) ， 所以 |AN|=−3x0y0−3−2=−3x0−2y0+23y0−3 ， |BM|=−2y0x0−2−3=−3x0−2y0+23x0−2 ， 所以 |AN|⋅|BM|=−3x0−2y0+23y0−3⋅−3x0−2y0+23x0−2=(−3x0−2y0+23)2(x0−2)(y0−3) =3x02+4y02+12−12x0−83y0+43x0y0x0y0−3x0−2y0+23 ， 因为点 P(x0，y0) 在椭圆 C 上，所以 3x02+4y02=12 ， 所以 |AN|⋅|BM|=43x0y0−12x0−83y0+24x0y0−3x0−2y0+23=43 （定值）； ③ S△OMN=12|OM|⋅|ON|=12(3+|BM|)⋅(2+|AN|) =33+|BM|+32|AN|≥33+2|BM|×32|AN|=33+26 . 当且仅当 |BM|=32|AN| ，即 |AN|=22 ， |BM|=6 时取等号. 所以 △OMN 面积的最小值为 33+26 .

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