题目

已知，点P、点Q分别是等边△ABC的边AB、BC所在直线上的动点（端点除外）．点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点M．（1）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上时，①求证：△ABQ≌△CAP；②当点P、点Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（2）如图2，当点P、Q分别在AB、BC的延长线上运动时，请直接写出∠QMC的度数．答案：解：①证明：如图1，∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在ΔABQ与ΔCAP中，{AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ，∴ΔABQ≌ΔCAP(SAS)；②点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵ΔABQ≌ΔCAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC是ΔACM的外角，∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠QMC=60°；解：如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC=120°，理由：同理可得，ΔABQ≌ΔCAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC是ΔAPM的外角，∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．

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