题目

已知函数 的图象在 处的切线方程为 . （1） 求 和 的值； （2） 对 ， 成立，求实数 的取值范围． 答案： 解：因为 f(x)=lnx−ax+b ， 所以 f′(x)=1x−a ， 又因为函数 f(x) 的图象在 x=1 处的切线方程为 x+y−3=0 ， 所以 f(1)=−a+b=2 ， f′(1)=1−a=−1 ， 解得 a=2 ， b=4 . 解：因为对 ∀x>0 ， f(x)≤xex−3x+m 成立， 所以 m≥lnx+x−xex+4 恒成立， 令 g(x)=lnx+x−xex+4 ， x>0 则 g′(x)=1x+1−(x+1)ex=(x+1)(1−xex)x ， 设 g′(x0)=0 ， x0>0 ，则 ex0=1x0 ，从而 x0=−lnx0 ， 因为 g′(12)=3(1−e2)>0 ， g′(1)=2(1−e)<0 ， 所以 g′(12)⋅g(1)<0 ， 因为 g′(x) 的图象在 [12,1] 上是不间断的， 所以 ∃x0∈(12,1) ，满足 g′(x0)=0 ， 当 x∈(0,x0) 时， g′(x)>0 ， g(x) 单调递增； 当 x∈(x0,+∞) 时， g′(x)<0 ， g(x) 单调递减． 从而 g(x) 在 x=x0 时取得最大值 g(x0)=lnx0+x0−x0ex0+4=−1+4=3 ， 所以 m 的取值范围为 m≥3 ．

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