题目

已知函数为奇函数, （1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）是否存在这样的实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由．答案：解: 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(0)=0 ，可得a=3. 解：任取 x1,x2∈(−3,3),且x1<x2,f(x1)−f(x2)=lg(3−x13+x1)−lg(3−x23+x2)=lg(3−x1)(3+x2)(3+x1)(3−x2)=lg9+3(x2−x1)−x1x29+3(x1−x2)−x1x2∵9+3(x2−x1)−x1x2>9−3(x2−x1)−x1x2>0∴9+3(x2−x1)−x1x29+3(x1−x2)−x1x2>1⇒f(x1)−f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2)∴f(x) 是 (−3,3) 上的减函数解： ∵f(k−cosθ)≥−f(cos2θ−k2)=f(k2−cos2θ) ∵f(x) 是 (−3,3) 上的减函数∴{k<0−3<k−cosθ<3−3<cos2θ−k2<3k−cosθ≤k2−cos2θ对θ∈R恒成立由k−cosθ≤k2−cos2θ对θ∈R恒成立得：k−k2≤cosθ−cos2θ对θ∈R恒成立令 y=cosθ−cos2θ=14−(cosθ−12)2∵cosθ∈[−1,1]∴y∈[−2,14]∴k−k2≤−2⇒k≤−1同理：由 −3<k−cosθ<3 对θ∈R恒成立得： −2<k<2由 −3<cos2θ−k2<3 对θ∈R恒成立得： −3<k<3即综上所得： −3<k≤−1 ,所以存在这样的k,其范围为 {k|−3<k≤−1}

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