题目

如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用． （1） 设扇环的面积为S扇环 ， 的长为l1 ， 的长为l2 ， 线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1 ， l2 ， h的代数式表示S扇环 ， 并证明； （2） 用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 答案： 解：S扇环=12（l1﹣l2）h，证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=nπr180，得R=180l1nπ，r=180l2nπ所以图中扇环的面积S=12×l1×R﹣12×l2×r=12l1•180l1nπ﹣12l2•180l2nπ=90nπ（l12﹣l22）=90nπ（l1+l2）（l1﹣l2）=12•180nπ•（nπ180R+nπ180r）（l1﹣l2）=12（l1+l2）（R﹣r）=12（l1+l2）h，故猜想正确． 解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，则S扇环=12（l1+l2）h=12（40﹣2h）h=﹣h2+20h=﹣（h﹣10）2+100∵﹣1＜0，∴开口向下，有最大值，当h=10时，最大值是100，即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2．

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