题目

已知定义域为 的函数 是奇函数． （1） 求实数 ， 的值； （2） 判断 的单调性，并用单调性的定义证明； （3） 当 时， 恒成立，求实数 的取值范围． 答案： 因为 f(x) 在定义域R上是奇函数.所以 f(0)=0 ， 即 1+n2+m=0 ，所以 n=−1 ．又由 f(−1)=−f(1) ，即 12−11+m=−14+m ， 所以 m=2 ，检验知，当 m=2 ， n=−1 时 f(−x)=2−x−12−x+1+2=1−2x2+2x+1=−f(x) ，原函数是奇函数. f(x) 在 R 上单调递增.证明：由（1）知 f(x)=2x−12x+1+2=12−12x+1 ， 任取 x1<x2 ∈R ，则 f(x2)−f(x1)=−12x2+1+12x1+1=2x2−2x1(2x1+1)(2x2+1) ， 因为函数 y=2x 在 R 上是增函数，且 x1<x2 ，所以 2x2−2x1>0 ， 又 (2x1+1)(2x2+1)>0 ， 所以 f(x2)−f(x1)>0 ，即 f(x2)>f(x1) ， 所以函数 f(x) 在R上单调递增. 因为 f(x) 是奇函数，从而不等式 f(kx2)+f(2x−1)>0 等价于 f(kx2)>−f(2x−1)=f(1−2x) ， 因为 f(x) 在 R 上是增函数，由上式推得 kx2>1−2x ， 即对一切 x∈[13，3] 有 k>1−2xx2 恒成立，设 g(x)=1−2xx2=1(x)2−2⋅1x ， 令 t=1x ， t∈[13，3] 则有 h(t)=t2−2t ， t∈[13，3] ，所以 g(x)max=h(t)max=h(3)=3 ， 所以 k>3 ，即 k 的取值范围为 (3，+∞) .

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