题目

如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（Ⅲ）求点E到平面的距离. 答案：方法一:(1)证明：连结OC.∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.                            ∴AB平面BCD.（Ⅱ）取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中，是直角△AOC斜边AC上的中线，∴∴∴异面直线AB与CD所成角的大小为（Ⅲ）设点E到平面ACD的距离为h.,∴・S△ACD =・AO・S△CDE.在△ACD中，CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=而AO=1, S△CDE=∴h=∴点E到平面ACD的距离为.方法二：（Ⅰ）同方法一：（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0), ∴∴异面直线AB与CD所成角的大小为（Ⅲ）设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则                ∴   令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量.又∴点E到平面ACD的距离h=

查看本题答案和解析