题目

如图，在三棱台 中， 分别为 的中点. （1） 求证：平面； （2） 若平面 ， 求平面与平面所成的角（锐角）的大小. 答案： 证法一：连接DG,CO，设CD∩GF＝O，连接OH在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G为AC的中点可得DF∥GC,DF=GC所以四边形DFCG为平行四边形则0为CD的中点，又H为BC的中点 所以OH∥BD又OH⊂平面BD∉平面FGH所以BD//平面FGH．证法二在三棱台DEF-ABC中，由BC=2EF,H为BC的中点可得BH∥EF,BH = EF ,所以四边形BHEE为平行四边形可得BE∥HF;在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以GH ∥AB又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面.ABED 因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH 解：解法一：设AB=2,则CF=1在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点 由DF=12AC=GC可得四边形DGCF为平行四边形，DG ∥CFC⊥平面ABC所以DG⊥平面ABC在△ABC中，由AB⊥BC,∠BAC=45°，G是AC中点，所以.A B = BC. GB⊥GC因此GB,GC,GD两两垂直，以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G—xyz所以G0,0,0,B2,0,0,C0,2,0,D0,0,1可得H22,22,0,F2,2,0故GH→=22,22,0,GF→=2,2,0设n→=x,y,z是平面EGF的一个法向量，则由n→·GH→=0n→·GF→=0得x+y=02y+z=0可得平面FGH的一个法向量n→=1-1.2应为GB→是平面ACFD的一个法向量GB→=2,0,0，所以COS＜GB→,n→＞cos<GB→,n→>=GB→·n→GB→·n→=222=12所以平面与平面所成的解锐角的大小为60°解法二作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NM由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC FC∩AC=C所以HM⊥平面ACFD所以∠MNH即为所求的角在△BGC中,MH∥BG， MH二12BG=22，由△GNM∼△GCF可得MNFC=GMGF,从而MN=66 由MN⊥平面ACFD，MN⊂平面ACFD  得MH⊥MN因此tan∠MNH=HMMN=3所以∠MNH=60°所以平面FGH平面ACFD所成角(锐角）的大小为60°

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