题目

已知函数 的表达式为 . （1） 当 时，求证： 在 上是严格减函数； （2） 若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：当 m=1 时， f(x)=x+1x−1 ， 任取 x1 、 x2∈(0,1) 且 x1<x2 ，即 0<x1<x2<1 ， f(x1)−f(x2)=(x1+1x1−1)−(x2+1x2−1)=(x1−x2)+(1x1−1x2)=(x1−x2)+x2−x1x1x2 =(x1−x2)(x1x2−1)x1x2 ， ∵0<x1<x2<1 ，则 x1−x2<0 ， 0<x1x2<1 ，所以， f(x1)−f(x2)>0 ， ∴f(x1)>f(x2) ， 因此，函数 f(x)=x+1x−1 在 (0,1) 上是严格减函数； 解：对任意的 x∈R ， f(2x)=2x+m2x−1>0 ，可得 m>2x−4x ， 令 t=2x>0 ，则 2x−4x=t−t2 ，令 g(t)=t−t2=−(t−12)2+14 ，其中 t>0 ， 所以， g(t)max=g(12)=14 ， ∴m>14 . 因此，实数 m 的取值范围是 (14,+∞) .

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