题目

已知椭圆 的左右焦点分别是 ，椭圆C的上顶点到直线 的距离为 ，过 且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M ， N两点，且｜MN｜＝1。（I）求椭圆 的方程；（II）过点 的直线与椭圆C相交于P ， Q两点，点 ），且 ，求直线 的方程。 答案：解：（Ⅰ）由点到直线距离公式有 |2b−4a|5=655 ，整理可得 2a−b=3 ，由通径公式有 2b2a=1 ，整理可得 a=2b2 ，故 4b2−b=3 ， ∴b=1 ，∴a=2 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 ；（Ⅱ）设直线 PQ 方程为 y=kx−22 ，与椭圆 C 的方程联立消去 y 得(1+4k2)x2−42kx−2=0 ，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，则 x1+x2=42k1+4k2，x1x2=−21+4k2 ，由 ∠PAQ=90∘ 得 (x1−2)(x2−2)+(y1−22)(y2−22)=0 ，即(x1−2)(x2−2)+(kx1−2)(kx2−2)=0 ，即 (1+k2)x1x2−2(1+k)(x1+x2)+4=0 ，∴(1+k2)⋅−21+4k2−2(1+k)⋅42k1+4k2+4=0 ，即 3k2−4k+1=0 ，解得 k=1 或 13当 k=1 时，直线 PQ 经过 A 点，不满足题意，舍去，故 k=13 ，所以直线 PQ 的方程为 y=13x−22

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