题目

在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O. （1） 填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为； （2） 点D在BA，AC边上运动. ①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB.试说明：∠ADO＝∠AOC； ②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC者之间的数量关系. 答案： 【1】110° 解：① ∵AO 平分 ∠BAC ， CO 平分 ∠ACB ， ∴∠OAC=12∠BAC ， ∠OCA=12∠ACB ， ∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠BCA)=12×(180°−∠ABC)=90°−12∠ABC ， ∴∠AOC=180°−(∠OAC+∠OCA)=90°+12∠ABC ， ∵∠ADO 是 ΔBOD 的一个外角， ∴∠ADO=∠ABO+∠BOD=90°+12∠ABC ， ∴∠ADO=∠AOC ； ②当点 D 在 AE 上时， ∵BO 平分 ∠ABC ， ∴∠ABE=12∠ABC ， ∴∠AEP=∠ABE+∠BAC =12∠ABC+∠BAC =12(180°−∠BAC−∠ACB)+∠BAC =12∠BAC−12∠ACB+90° ， ∴∠ADP=∠AEP+∠DPE =12∠BAC−12∠ACB+90°+90° ， ∴2∠ADP=∠BAC−∠ACB+360° ； 当点 D′ 在 CE 上时， ∵DP⊥BO ， D′P′⊥BO ， ∴DP//D′P′ ， ∴∠AD′P′=∠CDP ， ∴∠AD′P′=180°−∠ADP=12∠ACB−12∠BAC ， ∴2∠AD′P′=∠ACB−∠BAC ， 综上所述， 2∠ADP=∠BAC−∠ACB+360° 或 2∠AD′P′=∠ACB−∠BAC .

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