题目

已知函数 为自然对数的底数． （1） 求曲线 在 处的切线方程； （2） 关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的值； （3） 关于 的方程 有两个实根 ，求证： ． 答案： 解：对函数 f(x) 求导得 f′(x)=lnx+x·1x=lnx+1 ，∴ f′(e−2)=lne−2+1=−1 ，又 f(e−2)=e−2lne−2=−2e−2 ，∴曲线 y=f(x) 在 x=e−2 处的切线方程为 y−(−2e−2)=−(x−e−2) ，即 y=−x−e−2 ； 记 g(x)=f(x)−λ(x−1)=xlnx−λ(x−1) ，其中 x>0 ，由题意知 g(x)≥0 在 (0,+∞) 上恒成立，下求函数 g(x) 的最小值，对 g(x) 求导得 g′(x)=lnx+1−λ ，令 g′(x)=0 ，得 x=eλ−1 ，当 x 变化时， g′(x),g(x) 变化情况列表如下：x(0,eλ−1)eλ−1(eλ−1,+∞)g′(x)-0+g(x)↘极小值↗∴ g(x)min=g(x)极小=g(eλ−1)=(λ−1)eλ−1−λ(eλ−1−1)=λ−eλ−1 ，∴ λ−eλ−1≥0 ，记 G(λ)=λ−eλ−1 ，则 G′(λ)=1−eλ−1 ，令 G′(λ)=0 ，得 λ=1 ．当 λ 变化时， G′(λ),G(λ) 变化情况列表如下：λ(0,1)1(1,+∞)G′(λ)+0-G(λ)↗极大值↘∴ G(λ)max=G(λ)极大=G(1)=0 ，故 λ−eλ−1≤0 当且仅当 λ=1 时取等号，又 λ−eλ−1≥0 ，从而得到 λ=1 ； 先证 f(x)≥−x−e−2 ，记 h(x)=f(x)−(−x−e−2)=xlnx+x+e−2 ，则 h′(x)=lnx+2 ，令 h′(x)=0 ，得 x=e−2 ，当 x 变化时， h′(x),h(x) 变化情况列表如下：x(0,e−2)e−2(e−2,+∞)h′(x)-0+h(x)↘极小值↗∴ h(x)min=h(x)极小=h(e−2)=e−2lne−2+e−2+e−2=0 ，h(x)≥0 恒成立，即 f(x)≥−x−e−2 ，记直线 y=−x−e−2,y=x−1 分别与 y=a 交于 (x1′,a),(x2′,a) ，不妨设 x1<x2 ，则 a=−x1′−e−2=f(x1)≥−x1−e−2 ，从而 x1′<x1 ，当且仅当 a=−2e−2 时取等号，由（2）知， f(x)≥x−1 ，则 a=x2′−1=f(x2)≥x2−1 ，从而 x2≤x2′ ，当且仅当 a=0 时取等号，故 |x1−x2|=x2−x1≤x2′−x1′=(a+1)−(−a−e−2)=2a+1+e−2 ，因等号成立的条件不能同时满足，故 |x1−x2|<2a+1+e−2 ．

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