题目

如图所示，固定于地面上竖直平面内的某一游戏装置由半径为R=1.8m的四分之一光滑圆形轨道CD、水平光滑轨道DA与倾角θ=37°的粗糙斜面轨道AB构成，轨道在D，A两处平滑连接，且OD竖直，在装置出口处B端右侧有一刚性挡板PQ，已知P与B点等高，Q点足够高，AB段轨道长度L=2m，摩擦系数μ=0.5，PB距离x=1.2m现将质量为m=0.1kg的滑块自C点以某一初速度v0沿切线方向弹射，不计滑块的大小，滑块与刚性挡板的碰撞可视为弹性碰撞。 （1） 滑块初速度至少多大才能击中挡板 （2） 改变初速让滑块碰到挡板后恰能沿原路返回斜面，求滑块在整个运动过程中对轨道D点压力的最大值 （3） 在（2）题情况下，整个过程滑块能多少次通过圆轨道上距离D点高度0.01m的E点。 答案： 解；小球初速度最小时，恰好能击中刚性挡板的P点，B到击中挡板可以等效看成左右对称的两个平抛运动 x=vBcos37°⋅t t=2vBsin37°g  得 vB=522m/s D到B动能定理  12mvB2−12mv02=mgR−mgLsinθ−μmgLcosθ 得 v0=332m/s 解；小球能原路返回即从B点出发后垂直击中挡板 x=vBcos37°⋅t t=vBsin37°g  得 vB=5m/s D到B动能定理 12mvB2−12mvD2=−mgLsinθ−μmgLcosθ 得： vD=65m/s 在D点 FN−mg=mvD2R FN=mvD2R+mg=8318N 根据牛顿第三定律对轨道D点压力 8318N 解；若小球能返回B点，则 12mv′B2−12mvB2=−2μmgLcosθ 得 v′B<0 小球返回不会从B点飞出，第一次返回到圆轨道的高度为H1 0−12mvB2=mgLsinθ−μmgLcosθ−mgH1 H1=1.65m 第一次返回斜面高度为h1  mgH1=mgh1+μmgh1cotθ 第二次返回圆轨道高度为H2  mgh1−μmgh1cotθ=mgH2 H2=15H1 得第n次返回圆轨道高度为 Hn   Hn=(15)n−1H1 当n=4时  H<0.01小球通过圆轨道上距离D点的次数N为 N=9次

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