题目

已知函数 ． （1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 当 时，判断方程 的实根个数，并说明理由． 答案： 解：当 a=1 时， f(x)=ex+x2−1 ，则 f(1)=e ， 因为 f′(x)=ex+2x ，所以 f′(1)=e+2 ， 则所求切线方程为 y−e=(e+2)(x−1) ，即 y=(e+2)x−2 ． 解：当 a=0 时， f(x)=x2−1 ， 方程 f(x)−4xlnx=0 ，即 x2−1−4xlnx=0 ． 令 g(x)=x2−1−4xlnx ，定义域为 (0,+∞) ，则 g′(x)=2x−4lnx−4 ． 令 h(x)=2x−4lnx−4 ，则 h′(x)=2−4x ， 令 2−4x=0 ，得 x=2 ． 当 x∈(0,2) 时， h′(x)<0 ，所以 h(x) 在 (0,2) 上单调递减； 当 x∈(2,+∞) 时， h′(x)>0 ，所以 h(x) 在 (2,+∞) 上单调递增． 所以 h(x)min=h(2)=−4ln2<0 ． 又 h(1e)=2e>0 ， h(1)=−2<0 ， h(e2)=2e2−12>0 ， e2>2 ． 所以 h(x) 在 (0,2) 上存在唯一零点，记为 m ．在 (2,+∞) 上存在唯一零点，记为 n ． 则 m∈(1e,1) ， n∈(2,e2) ． 当 x∈(0,m) 时， h(x)>0 ，所以 g(x) 在 (0,m) 上单调递增； 当 x∈(m,n) 时， h(x)<0 ，所以 g(x) 在 (m,n) 上单调递减； 当 x∈(n,+∞) 时， h(x)>0 ，所以 g(x) 在 (n,+∞) 上单调递增． 又 g(m)>g(1)=0 ， g(n)<g(1)=0 ， 所以 g(x) 在 (m,n) 上存在唯一零点1． 因为 g(1e3)=1e6−1+12e3=1−e3(e3−12)e6<0 ， g(e3)=e3−1−12e3−e3(e3−12)−1>0 ， 所以存在唯一的 p∈(0,m) ，使得 g(p)=0 ． 存在唯一的 q∈(n++∞) ，使得 g(q)=0 ，且 p∈(1e3,m) ， q∈(n,e3) ． 综上，方程 x2−1−4xlnx−0 恰有三个不同的实根 p ，1， q

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