题目

如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°． （1） 求证：AM是⊙O的切线； （2） 若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 答案： 解：∵∠B=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切线 解：∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=2 3 ，∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC= 12 （4+2）×2 3 ﹣ 60⋅π×16360 =6 3 ﹣ 8π3

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