题目

已知 . （Ⅰ）若 ，求不等式 的解集； （Ⅱ）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）依题意，得 |x+2|+|2x−3|>6 . f(x)={−3x+1,x<−2,5−x,−2≤x≤32,3x−1,x>32. 当 x<−2 时，由 f(x)=−3x+1>6 ，得 3x<−5 ，即 x<−53 ，所以 x<−2 ； 当 −2≤x≤32 时，由 f(x)=5−x>6 ，得 x<−1 ，所以 −2≤x<−1 ； 当 x>32 时，由 f(x)=3x−1>6 ，得 3x>7 ，即 x>73 ，所以 x>73 . 综上所述，不等式 f(x)>6 的解集为 (−∞,−1)∪(73,+∞) . （Ⅱ）依题意，得 |x+m|+|2x−3|≤|2x−3|+3x ，即 |x+m|≤3x ，所以 −3x≤x+m≤3x . 所以 −4x≤m≤2x 在 [1,5] 恒成立，所以 {m≥(−4x)maxm≤(2x)min 所以 −4≤m≤2 ，所以实数 m 的取值范围为 [−4,2] .

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