题目

如图①，△ABC 和△CDE是等边三角形，连接AE、BD ， 连接DA并延长交BC于F ， AE=CE ． （1） 求证： ； （2） 如图②，作 的边 上的高线 ，交 的延长线于点P，求证： ． 答案： 证明：∵ △ABC 和 △CDE 是等边三角形， ∴ AB=BC=AC ， ∠ACB=∠DCE=60° ， CD=CE ，         ∴ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD ， 即 ∠BCD=∠ACE ，          在 △DBC 和 △EAC 中， {BC=AC∠BCD=ACECD=CE ， ∴ △DBC≌△EAC(SAS) ；  证明：连接 BE ，如图所示： ∵ △DBC≌△EAC ， ∴ BD=AE ， ∵ AE=CE ， CE=CD ， ∴ BD=CD ， 又∵ AB=AC ， ∴ AD⊥BC ， AD 平分 BC ， ∵ EG⊥AD ， ∴ EG//BC ， ∴ ∠PEB=∠CBE ，          在 △ABE 和 △CBE 中， {AB=CBAE=CEBE=BE ， ∴ △ABE≌△CBE(SSS) ， ∴ ∠ABE=∠CBE ， ∴ ∠PEB=∠ABE ， ∴ PB=PE ． 

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