题目

已知函数 为奇函数， 为常数. （1） 确定 的值； （2） 求证： 是 上的增函数； （3） 若对于区间 上的每一个 值，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解： f(x) 为奇函数，所以 f(x)+f(−x)=0 恒成立，所以 log12(1−axx−1)+log12(1+ax−x−1)=log12(1−a2x21−x2)=0 恒成立， 得 1−a2x21−x2=1 ，所以 a2=1 ，即 a=±1 ，经检验 a=1 不合题意，所以 a=−1 。 解：由（1）知， f(x)=log12(1+xx−1) ，设任意的 x1,x2,1<x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=log12(1+x1x1−1)−log12(1+x2x2−1)=log12(1+x1)(x2−1)(x1−1)(1+x2) ， 因为 (1+x1)(x2−1)−(x1−1)(1+x2)=x2+x1x2−1−x1−x1−x1x2+1+x2=2(x2−x1)>0 且 (1+x1)(x2−1)>0,(x1−1)(1+x2)>0 ，所以 (1+x1)(x2−1)(x1−1)(1+x2)>1 ， 故 log12(1+x1)(x2−1)(x1−1)(1+x2)<0 ，所以 f(x1)−f(x2)<0 ，所以 f(x) 在 (1,+∞) 上是增函数。 解：由（2）知函数 h(x)=f(x)−(12)x 在[3，4]上单调递增，所以 h(x) 的最小值为 h(3)=f(3)−(12)3=−98 ，所以使 f(x)>(12)x+m 恒成立的 m 的取值范围是 (−∞,−98) .

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