题目

已知直三棱柱 中， ， ，E是 的中点，F是 上一点，且 . （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 余弦值的大小. 答案：解： (I) 连接 AE,AF ，在 △ABC 中， 12AB·AC·sin120∘=12BC·AE 故 AE=1 . 由于三棱柱 ABC−A1B1C1 是直三棱柱，故 AA1⊥ 平面 ABC⇒AA1⊥AE ， 直角三角形 A1AE 中，因为 AA1=3 ， AE=1 ， 所以 A1E=2， 所以 EF=12 ， 又因 AEEF=A1EAE⇒∠AFE 为直角，即 A1E⊥AF . 再由 E 为 BC 中点并且 △ABC 为等腰三角形可知 AE⊥BC ， 结合 AA1⊥BC ， AA1∩AE=A 得 BC⊥ 平面 A1AE ， ⇒BC⊥AF . 综合 A1E⊥AF ， BC⊥AF ， BC∩A1E=E ，得到 AF⊥ 平面 A1BC . (II) 由于 AE⊥BC ，如图以点 E 为坐标原点建立空间直角坐标系， BE=AEtan60∘=3 ，故 B(−3,0,0) ， A1(0,1,3) ， E(0,0,0) ， B1(−3,0,3) ， EB⇀=(−3,0,0) , EA⇀=(0,1,3) , EB1⇀=(−3,0,3) 设面 BA1E 法向量为 n1⇀=(x1,y1,z1) ， 面 B1A1E 法向量为 n2⇀=(x2,y2,z2) ， {n1⇀⋅EB⇀=0n1⇀⋅EA1⇀=0⇒{−3x1=0y1+3z1=0 ，取 z1=1 ，得 n1⇀=(0,−3,1) ， {n2⇀⋅EB1⇀=0n2⇀⋅EA1⇀=0⇒{−3x2+3z2=0y2+3z2=0 ，取 z2=1 ，得 n2⇀=(1,−3,1) ， 则二面角 B−A1E−B1 的余弦值 cosθ=|n1⇀⋅n2⇀||n1⇀|⋅|n2⇀|=44⋅5=255 .

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