题目

给定函数 ，若对于定义域中的任意 ，都有   恒成立，则称函数 为“爬坡函数”. （Ⅰ）证明：函数 是“爬坡函数”； （Ⅱ）若函数 是“爬坡函数”，求实数 的取值范围； （Ⅲ）若对任意的实数 ，函数 都不是“爬坡函数”，求实数 的取值范围. 答案：解：（Ⅰ） ∵f(x)−x=x2+2x+1=(x+1)2≥0⇒f(x)≥x 恒成立 ∴f(x) 是“爬坡函数” （Ⅱ）依题意得 4x+m⋅2x+1+2m2−4≥0 恒成立，令 t=2x>0 即 g(t)=t2+2mt+2m2−4≥0 在 t>0 恒成立 当 −m≤0 ，即 m≥0 ，则只需满足 g(0)=2m2−4≥0⇒m≥2 当 −m>0 ，即 m<0 ，则只需满足 g(−m)=−m2+2m2−4≥0⇒m≤−2 综上所述，实数 m 的取值范围为 (−∞,−2]∪​[2,+∞) ； （Ⅲ）根据题意可得到，对任意的实数 b ，存在 x ，使得 f(x)=x2+bx+c−b4<x 成立 即 x2+(b−1)x+c−b4〈0⇒Δ1=(b−1)2−4(c−b4)〉0 ∴b2−b+1−4c>0 恒成立    即 Δ2=1−4(1−4c)<0⇒c<316

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